数学好的哥们帮个忙！
[x] donates the greatest integer ≤x.
prove:
[2x]=[x]+[x+1/2]
[3x]=[x]+[x+1/3]+[x+2/3]
...
generalization for [nx]=∑(0≤k≤n-1)[x+k/n].

thanks.

[解决办法]
先证[2x]=[x]+[x+1/2]．
若x=k+a;（k为整数部分，a为小数部分）
分类讨论之：
1)：a>1/2，则有：[2x]=[2k+2a]=2k+1；而[x]+[x+1/2]=k+k+1=2k+1.
2): a<1/2，则：[2x]=2k；而[x]+[x+1/2]=k+k=2k.
综合(1),(2)，得到[2x]=[x]+[x+1/2]．

一般情形：
x=k+a，nx=(nk+na)．[nx]=[nk]+[na]=nk+[na].
我们将x轴上0到1的部分分成n段:

C/C++ code

--|--|--|--|...|--|--|--|--
[解决办法]
x是个小数，可以把它看作整数[x]和小数F的和;
[nx] = n[x] + [nF]


********************
如果F<1/n,  

则[nF] = 0
所以等式左边[nx] = n[x]

另外
[x+1/n] = [x+2/n] = ... = [x+(n-1)/n] = [x]

所以等式右边 = [x] + [x] +... = n[x]

********************
如果(m-1)/n<F<m/n,
则等式左边[nx] = n[x] + (m-1)

等式右边，只有m-1项 = [x] + 1; 有n-m+1项 = [x]
最终 = n[x] + (m-1)

********************
[解决办法]
先证[2x]=[x]+[x+1/2]．  
若x=k+a;（k为整数部分，a为小数部分）
分类讨论之：
1)：a>1/2，则有：[2x]=[2k+2a]=2k+1；而[x]+[x+1/2]=k+k+1=2k+1.
2): a<1/2，则：[2x]=2k；而[x]+[x+1/2]=k+k=2k.
综合(1),(2)，得到[2x]=[x]+[x+1/2]．  

一般情形：
x=k+a，nx=(nk+na)．[nx]=[nk]+[na]=nk+[na].
我们将x轴上0到1的部分分成n段:
C/C++ code
--|--|--|--|...|--|--|--|--
[解决办法]
呵呵，思路都是一样的，我也贴一遍：

将x表示成这样的形式: x=m+t,其中m为整数,0<=t<1
于是[nx]取值中的变数完全和真小数t有关.

将[0,1)这个半闭半开区间分成这样n个小区间:
[0,1/n), [1/n,2/n), [2/n,3/n),..., [(n-2)/n,(n-1)/n), [(n-1)/n,1), t必定落在其中一个小区间上.
假设t位于第i个小区间上,即(i-1)/n<=t<i/n
从而有: mn+i-1<=nx<mn+i, 所以[nx]=mn+i-1

观察右边的式子:
[x]=m
m<=x+1/n=m+t+1/n<m+1,所以[x+1/n]=m
类似的......
m<=x+(n-i)/n=m+t+(n-i)/n<m+1,所以[x+(n-i)/n]=m
m+2>x+(n-i+1)/n=m+t+(n-i+1)/n>=m+1,所以[x+(n-i+1)/n]=m+1
类似的......
[x+(n-1)/n]=m+1

将右边全部加起来,有:右式=mn+i-1=[nx]
证毕.

[解决办法]
注意 (i-1)/n <= t < i/n，显然有
t+0/n < t+1/n < t+2/n <...< t+(n-i)/n < i/n+(n-i)/n = n/n = 1