关于幂集的势,康托究竟怎么说的?
关于幂集的势,康托究竟怎么说的?
我一直以为是“集合的幂集(即集合的子集的集合)的势大于集合本身的势”,
但我最近在考察Hilbert 23个数学问题的原文(英文)时,竟发现,康托并没说过，
他的结论是，从等势的角度来看，只有两种无穷集：可数集和连续统。
不知道大家的看法如何？
[解决办法]
康托究竟怎么说的,我们不知道
不过“从等势的角度来看，只有两种无穷集：可数集和连续统。”和““集合的幂集(即集合的子集的集合)的势大于集合本身的势”似乎不太矛盾
所谓“连续统”，是指可数集，可数集的幂集，可数集的幂集的幂集，......
除此之外，不存在其他的无穷基数。
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我一直以为是“集合的幂集(即集合的子集的集合)的势大于集合本身的势”
-- 这个理解肯定不对，应该是不小于才对。
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我一直以为是“集合的幂集(即集合的子集的集合)的势大于集合本身的势”
-- 这个理解肯定不对，应该是不小于才对。
-- 这个理解是对的。
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这个叫“康托定理”：任何集合的势严格小于其幂集的势
你的误解大概在于将“两种”理解为“两个”了。
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集合论的一个基本定理(其证明也很简单)就是说对任意集合X, |P(X)| > |X|, 因此有
|N| < |P(N)| = |R| < |P(R)| < |P(P(R))| < |P(P(P(R)))| < ...
"从等势的角度来看，只有两种无穷集：可数集和连续统 ". Cantor这样说过吗? 单独看这句话肯定不对,可能与上下文有关吧.
[解决办法]
从等势的角度来看，只有两种无穷集：可数集和连续统
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连续统的幂集就是比连续统势更大的无穷集
他说的应该是没一个无穷集，它的势比可数集大，比连续统小，这就是 连续统假设
集合的幂集的势大于集合本身的势 是康托定理
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看了你列出的URL的原文,结论:这是个翻译问题而不是数学问题.
Hilbert的演讲原文是德文的.我怀疑这个英文翻译本身就不够理想.举个例子,充斥其中的 "system of numbers " 似乎用 "set of numbers "更确切些.没看到德文原文(俺也不懂德文,hehe)因此只敢说怀疑.但我敢确切地说,从英文到中文的翻译太粗糙了,很多误解因此而起.
就说关键的这句吧, "从等势的角度来看，只有两种无穷集：可数集和连续统 ",其原文为: "as regards equivalence there are, therefore, only two assemblages of numbers, the countable assemblage and the continuum ". 注意 "assemblages of numbers "是数集而不是一般集合.因此这句话准确翻译应为:
"从等势的角度来看，只有两种无穷数集：可数集和连续统 ".
自然数集N是数集,实数集R是数集,但实数集的幂集P(R)就不是数集了,虽然后者的势比R大.
"从等势的角度来看，只有两种无穷数集：可数集和连续统 "这句话就是连续统假设! 只不过换了个说法. 正如文后说的, "From this theorem it would follow at once that the continuum has the next cardinal number beyond that of the countable assemblage ". ---根据这个定理出发我们马上得出:连续统的势是比可数集势大的下一个势. 换成更通俗的话,就是 "没有一个无穷集，它的势比可数集大，比连续统小 ".
文章后面部分谈到R的良序化问题,但只是附带地提到(虽然占了快一半篇幅).毫无疑问的,Hilbert第一个问题的核心就是关于连续统假设.
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To zzwu:
不知道此网页就是楼主维护的,失敬失敬. 你说的有道理, "system "一词没错.
下面是Cantor定理(任意集合的势都小于它的幂集的势)的一个证明.
(符号说明: ∈表示 "属于 " ≮表示 "不属于 " 对不起我找不到更合适的排版符号了)
用反证法.假设Cantor定理不成立.则有一个集合A,它的势不小于其幂集P(A)的势.注意A的势不可能比P(A)大,因此A与P(A)等势,即存在一一映射
f: A--> P(A) //f把A中每个元素映射到A的一个子集
我们作集合
B = {x| x∈A and x≮f(x)}. 即B是A中所有这些元素的集合:它不属于自己在f下的象.
因为f是一一映射,肯定有y∈A, 使f(y)=B∈P(A). 现在分析一下y与B的关系:
(1)若y∈B, 则由B之定义可知 y≮f(y)=B
(2)若y≮B, 则由B之定义可知 y∈f(y)=B
这些矛盾说明A与P(A)之间并不存在一一映射,证毕.
注意此证明对A没有任何限制条件,它可以是有限集,可数无限集,也可是不可数无限集(例如R)
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再仔细看了下原文,发现Hilbert之所以花了一半多篇幅讲R的良序问题,是因为他觉得这是证明连续统假设最有希望的一条途径.注意这句话: "Let me mention another very remarkable statement of Cantor 's which stands in the closest connection with the theorem mentioned and which, perhaps, OFFERS THE KEY TO ITS PROOF. " (我把强调的部分改成了大写). 当然,连续统假设后来并没有象他想象的那样通过这条途径解决.