一道高数证明题，有两个步骤没看懂，在线等
设f(x)在[a,b]上有连续的导数,且f(a)=0,试证 ∫(a,b)[f(x)]^2dx <=[(b-a)^2/2] ∫(a,b)[f’(x)]^2dx
证：f(x)=f(x)-f(a)= ∫(a,x)f’(t)dt，于是由柯西不等式
[f(x)]^2=[∫(a,x)f’(t)dt]^2 <=∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=(x-a) ∫(a,b)[f’(t)]^2dt,
故………(这后面的我看懂了)
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我所不懂的是，为什么
[∫(a,x)f’(t)dt]^2 <=∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt
∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=(x-a) ∫(a,b)[f’(t)]^2dt
我的思路是：[∫(a,x)f’(t)dt]^2＝∫(a,x)f’(t)dt∫(a,x)f’(t)dt
但是为什么会∫(a,x)f’(t)dt∫(a,x)f’(t)dt=∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt
？？？？？？？？？
为什么会∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=(x-a) ∫(a,b)[f’(t)]^2dt
我就更加不知道了


[解决办法]
∫(a,x) [f '(t)+y]^2 dt> =0
展开
y^2 ∫(a,x)dt+ 2y ∫(a,x)f '(t)+∫(a,x)[f '(t)]^2dt> =0
二元三项式正，则，delta <=0
即
4 [∫(a,x)f '(t)]^2- 4*∫(a,x)dt*∫(a,x)[f '(t)]^2dt

[∫(a,x)f '(t)]^2 <= ∫(a,x)dt*∫(a,x)[f '(t)]^2dt


[解决办法]
为什么会∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=(x-a) ∫(a,b)[f’(t)]^2dt
我就更加不知道了
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∫(a,x)dt =x-a (1)
[f’(t)]^2> =0
所以 ∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=∫(a,b)[f’(t)]^2dt (2)

（1）式大于零，乘以（2）式
∫(a,x)dt∫(a,x)[f’(t)]^2dt <=(x-a) ∫(a,b)[f’(t)]^2dt