编程之美2.8——找符合条件的整数

问题：

任意给定一个正整数N，求一个最小的正整数M(M>1)，使得N*M的十进制表示形式里只含有1和0。

解法：

由于没有直接的数学方法能帮我们直接得到M的值，所以我们只能进行搜索。由于相对M，乘积N*M具有明显的特征，需要搜索的空间要小很多，所以我们对乘积N*M进行搜索。如果N*M的结果有K位，则要循环2^K次，我们发现K的结果能轻易超过40，所以这个运行时间还是相当长。

同余运算具有等价关系，mod N = i（0<=i<N）构成了N个等价类，将正整数集进行划分。对于每个等价类，我们只需要判断其中最小的元素加上10^K是否能被N整除，这样搜索空间就从2^K次减少到(K-1)*N步，而N的值一般要远远小于M的值。但要O(N)的空间复杂度。

我们可以证明对于任意的N，一定存在M，使得N*M的乘积的十进制表示只有0和1。证明过程见http://blog.csdn.net/jcwkyl/article/details/3859155

由于无论M还是N*M的位数都相当大，所以我们用大整数表示M和N*M。由于要N个大整数，所以N不能为大整数，即其值最好取一百万以内。

#include <iostream>#include <cstring>using namespace std;// 大整数类型#define MAXLEN 100struct HP {int len, s[MAXLEN];};void PrintHP(const HP &x) {for (int i=x.len; i>=1; i--)cout << x.s[i];}// 字符串转大整数void Str2HP(const char *s, HP &x){x.len = strlen(s);for (int i=1; i<=x.len; i++)x.s[i] = s[x.len-i] - '0';if (x.len == 0){x.len = 1;x.s[1] = 0;}}// 大整数的加法void Plus(const HP a, const HP b, HP &c){int i; c.s[1] = 0;// 大整数a,b的加法操作和结果c的进位操作for (i=1; i<=a.len || i<=b.len || c.s[i]; i++){if (i <= a.len) c.s[i] += a.s[i];if (i <= b.len) c.s[i] += b.s[i];c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;}// 退出循环到原因是c.s[i]==0，所以取前一位c.len = i-1; if (c.len == 0) c.len = 1;}// 大整数的减法void Subtract(const HP a, const HP b, HP &c){int i, j;for (i=1,j=0; i<=a.len; i++){// j表示是否要对高位进行借位c.s[i] = a.s[i] - j;if (i <= b.len) c.s[i] -= b.s[i];if (c.s[i] < 0) {// 向高位借位，补10j = 1;c.s[i] += 10;}else j = 0;}c.len = a.len;while (c.len > 1 && !c.s[c.len]) c.len--;}// 大整数的比较int HPCompare(const HP &x, const HP &y){if (x.len > y.len) return 1;if (x.len < y.len) return -1;int i = x.len;while (i>1 && (x.s[i]==y.s[i])) i--;return x.s[i] - y.s[i];}// 大整数的乘法void Multi(const HP a, const HP b, HP &c){int i, j;// 对乘法结果赋初值，以方便之后的+=运算c.len = a.len + b.len;for (i=1; i<=c.len; i++) c.s[i] = 0;for (i=1; i<=a.len; i++)for (j=1; j<=b.len; j++)c.s[i+j-1] += a.s[i]*b.s[j];// 运算结果进位for (i=1; i<c.len; i++) {c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10;}// 最高位继续进位while (c.s[i]) {c.s[i+1] = c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; i++;}// 确保最高位不为0while (i>1 && !c.s[i]) i--;c.len = i;}// 大整数的除法void Divide(const HP a, const HP b, HP &c, HP &d){int i, j;// 用余数d存被除数a的前i位数据，用来多次减去除数b，以得到商cd.len = 1; d.s[1] = 0;for (i=a.len; i>0; i--){if (!(d.len == 1 && d.s[1] == 0)){// i没移一位，余数d也移位for (j=d.len; j>0; j--)d.s[j+1] = d.s[j];d.len++;}d.s[1] = a.s[i];c.s[i] = 0;// 余数d大于除数b时，才可以进行减操作while ((j=HPCompare(d,b)) >= 0){Subtract(d, b, d);c.s[i]++;if (j == 0) break;}}c.len = a.len;while (c.len > 1 && c.s[c.len] == 0)c.len--;}// 十进位右移void RightShift(HP &x, int k){for (int i=1; i<=x.len-k; i++)x.s[i] = x.s[i+k];x.len -= k;if(x.len <= 0){x.len = 1;x.s[1] = 0;}}// 十进位左移void LeftShift(HP &x, int k){int i;for (i=x.len; i>=1; i--)x.s[i+k] = x.s[i];for (i=k; i>=1; i--)x.s[i] = 0;x.len += k;}#define MAXREM 1000000HP rem[MAXREM];int main(){int i, j, k, N;char str[MAXREM];HP one, tmp;one.len = 1; one.s[1]=1;while (cin >> str){N = atoi(str);if (N > MAXREM){printf("ERROR: N(%d) IS TOO LARGE",N);continue;}// 清空余数信息数组for (i=0; i<N; i++)rem[i].len = 0;// 初始化唯一的个位数1rem[1] = one;// i表示当前搜索到N*M的第i位，j表示(10^i)%Nfor (i=1,j=10%N; rem[0].len==0; i++,j=(j*10)%N){// tmp表示大整数10^Ntmp = one;LeftShift(tmp, i);// 如果数组没有和tmp同余的数，则添入if (rem[j].len == 0)rem[j] = tmp;for (k=1; k<N; k++){// 遍历余数信息数组，若新产生出余数不同的数，则添入int u = (j+k)%N;// 为了防止刚加入的10^N不被计算，加入条件rem[k].len <= iif (rem[k].len && rem[k].len <= i&& rem[u].len == 0)Plus(tmp, rem[k], rem[u]);if (u == 0)break;}}Str2HP(str, tmp);cout << "N*M: ";PrintHP(rem[0]);HP d;Divide(rem[0], tmp, tmp, d);cout << endl << "M: ";PrintHP(tmp);cout << endl;}}