Pajek学习笔记——centrality与centralization
centrality & centralization in Pajek

部分命令执行后在Report Window中得到Centralization。
Centralization = sigma(abs(centrality-max(centrality))) / 对于同样大小的网络，分子可能达到的最大值
也就是将sigma(abs(centrality-max(centrality)))规约到[0.00,1.00]范围。
下面记得到的顶点vi的centrality为ci。

1. Degree(得到centrality vector和centralization)
(1) Input
ci=vi的入度
(2) Output
ci=vi的出度
(3) All
ci=vi的度(对Arc忽略其方向)
注：
星形网络的degree centralization为1.00。当网络有重边或者自环时，顶点的度可能不等于其邻居数，可能得到大于1.00，故此时不建议使用degree centralization。

2. Weighted Degree(得到centrality vector)
类似Degree，考虑边的权值。

3. Closeness(得到centrality vector和centralization)
(1) Input
ci=(可到达vi的顶点数)/sigma(dis(vj->vi)) (j!=i且存在vj到vi的路径)
(2) Output
ci=(从vi可达的顶点数)/sigma(dis(vi->vj)) (j!=i且存在vi到vj的路径)
(3) All
ci=(vi所在的联通块大小-1)/sigma(dis(vi,vj)) (j!=i且存在vi到vj的路径，对Arc忽略其方向)
注：
这里的dis只考虑跳数，不包括边的权。
对不(强)联通的网络不计算closeness centralization因为某些顶点对之间的距离无法计算。
星形网络的betweenness centralization为1.00。

4. Betweenness(得到centrality vector和centralization)
ci=所有其他点对的所有最短路径中包含vi的路径数所占比例。
注：
星形网络的betweenness centralization为1.00。

5. Hubs-Authorities(得到partition和vector)
(1)"Hubs and Authorities"(Partition)中数字含义：
1：好authority
2: 好authority和好hub
3: 好hub
(2)得到"Hub Weights"与"Authority Weights"(Vector)
计算方法：http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/auth.ps

6. Proximity Prestige
根据结点的输入、输入或所有邻居来计算，产生以下几个结果：
(1)"Size of Input/Output/All Domain"(Partition)
能获得的结点数(不包括自己)
(2)"Normalized Size of Input/Output/All Domain"(Vector)
对(1)除以n-1进行规范化
(3)"Average Distance ..."(Vector)
从/到该domain的平均距离(跳数)
(根据Input/Output/All决定是"从"还是"到")
(4)"Input/Output/All Proximity Prestige"(Vector)
由(2)和(3)对应项目相除得到

7. Line Values
(1)Min
找到入边/出边/所有边中最小的权值
(2)Max
找到入边/出边/所有边中最大的权值

8. Centers

在网络中使用"掠夺"(robbery)算法：结点若比邻居度数更高(更强大)则从它们那掠夺强度：

首先根据结点的度数赋强度初值，或赋初值1。

当"虚弱"结点被找到的时候，邻居根据强度从它掠取相应的强度，或平分。

参考资料

1. W. de Nooy, A. Mrvar, V. Batagelj: Exploratory Social Network Analysis with Pajek, Structural Analysis in the Social Science

2. V. Batagelj, A. Mrvar: Pajek Program for Large Network Analysis. Home page: http://vlado.fmf.uni-lj.si/pub/networks/pajek/