数论——素数筛选法与整数的素因子分解

筛选法???

???? 求出n以内的素数，最快的应该是筛选法。

?筛选法的思路是：

?????要求10000以内的素数，把1-10000都列出来，1不是素数，划掉；2是素数，所有2的倍数都不是素数，划掉；取出下一个幸存的数，划掉它的所有倍数；直到所有素数找完为止。

???? 这种做法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度O(n/logn)。

const int Max = 1000005;bool prime[Max]={0};//0表示素数，1为非素数//筛选n以内的素数void getPrime(int n){    int i,j;    int t;    for(i = 2; i <= n; i++)    {        if(!prime[i])        {            for(j = 2; (t=j*i) <= n; j++)                prime[t] = 1;        }    }}

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分解素因子

???? 唯一质因子分解定理：任意一个合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：

a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er

??? 其中pi为素数，p1<p2<...<pr，且ei为正整数。例如数6000=2^4*3*5^3。

??? 素因子的分解技巧：首先a的某两个素因子不可能同时大于sqrt(a)，这样，先用筛选法求出sqrt(a)以内的所有素数，然后用a依次去mod这些素数，若能整除，则找到素因子，将素因子去掉，再继续找。最后若a>1，则a也是它的素因子。

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const int Max = 100005;int isPrime[Max]={0};int prime[Max/5],num=0;int factors[100],s=0;void getPrime(int n){    int i,j;    int t;    for(i = 2; i <= n; i++)    {        if(!isPrime[i])        {            prime[num++] = i;            for(j = 2; (t=i*j) <= n; j++)                isPrime[t] = 1;        }    }}void decompose(int n, int* factors){    int te = (int)sqrt(n*1.0);    for(int i = 0; i<num&&prime[i]<=te; i++)    {        if(n%prime[i]==0)        {            factors[s++] = prime[i];            while(n%prime[i]==0)                n = n/prime[i];        }    }    if(n > 1)        factors[s++] = n;}

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例

POJ2262

题意：给出任意一个正整数n(n<=10^6)，根据哥德巴赫猜想：任意一个不小于6的整数，都可以表示为两个奇素数之和。问虽任意整数是否满足这个猜想。

解：筛选法将n以内的所有素数都求出来，若a是素数，判断n-a是否为素数，若找到一组不满足，则答案为否定。

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POJ1142

题意：给一个数n(n<=10^7)，求最小的m>n，使得m的素因子每一位上的数的和 == m的每一位上的数的和。

解：显然这题就是要分解素因子。先求10^4以内的素数，再用素因子分解，然后判断。

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#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>using namespace std;const int Max = 10005;bool isPrime[Max]={0};int prime[Max/4],num=0;void getPrime(int n){    int t;    for(int i = 2; i <= n; i++)    {        if(isPrime[i]==0)        {            prime[num++] = i;            for(int j = 2; (t=j*i) <= n; j++)                isPrime[t] = 1;        }    }}int getSum(int n){    int ret = 0;    while(n)    {        ret += n%10;        n /= 10;    }    return ret;}bool isSmith(int n){    int t = (int)sqrt(n*1.0);    int r1 = getSum(n);    int r2 = 0;    int N = n;    for(int i = 0; i<num&&prime[i]<=t; i++)    {        if(n%prime[i]==0)        {            int tmpt = getSum(prime[i]);            while(n%prime[i]==0)            {                n = n/prime[i];                r2 += tmpt;            }        }    }    if(n > 1)        r2 += getSum(n);    if(n==N)        return false;    return r1==r2;}int main(){    int i;    int n;    getPrime(Max-1);    while(true)    {        scanf("%d",&n);        if(!n)            break;        for(i = n+1; ;i++)        {            if(isSmith(i))                break;        }        printf("%d\n",i);    }    return 0;}

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