斐波那契

StatisticsFibonacciProblem Description2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。Input输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。Output输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。Sample Input
012345353637383940
Sample Output
011235922714932415390863241023

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){ int n,a[21],i; double m; a[0]=0; a[1]=1; for(i=2;i<=20;i++)  a[i]=a[i-1]+a[i-2]; while(scanf("%d",&n)!=EOF) {  if(n<21)   printf("%d\n",a[n]);  else  {   m=n*log10((1+sqrt(5))/2)-log10(sqrt(5)); //公式   m=m-(int)m;   n=pow(10,m)*1000;   printf("%d\n",n);  } } return 0;}

解题思路：这个题目的意思很简单了，但是这个题目绝对不是让你循环算出的，或许你做过fibonacci数列(二)的话，你也许在想使用矩阵二分幂的方法，但是这个方法只适合找F(n)的低位数字，至于这个题目，则是另一种思路，使用通项公式。
实际上我们可以把这一类题目归类：求最Fibonacci数列F(n)的高位，求n^m的高位，求n！的高位……，求n！有多少位数……，这类为题是要找一个很大的数的高位，或者估计出这个数有多大。区别于以前的求低位，这些问题实际上是一种近似计算，我们一般的解法是找出欲求的表达式an的同阶的一个表达式bn；那么n很大的时候我们就可以用bn来近似代替an了，这里我们一般要求bn是比较容易计算出来的表达式。具体到这个题目，我们知道Fibonacci数列有通项公式为：化简log10(an)=n*log10((1+sqrt(5))/2)-log10(sqrt(5))+log10(1-((1-sqrt(5))/(1+sqrt(5)))^n)后面红色部分是无穷小量，可以省略。于是log10(an)=n*log10((1+sqrt(5))/2)-log10(sqrt(5))；最后可以计算出log10(an)，保留它的的小数部分即可。