数论——中国剩余定理(互质与非互质)

中国剩余定理

???? 中国剩余定理是中国古代求解一次同余方程组的方法，是数论中的一个重要定理。

???? 设m1，m2，m3，...，mk是两两互素的正整数，即gcd(mi,mj)=1，i!=j，i,j=1,2,3,...,k.

则同余方程组：

x = a1 (mod n1)

x = a2 (mod n2)

...

x = ak (mod nk)

模[n1,n2,...nk]有唯一解，即在[n1,n2,...,nk]的意义下，存在唯一的x，满足：

x = ai mod [n1,n2,...,nk], i=1,2,3,...,k。

解可以写为这种形式：

x = sigma(ai*?mi*mi') mod(N)

????? 其中N=n1*n2*...*nk，mi=N/ni，mi'为mi在模ni乘法下的逆元。

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中国剩余定理非互质版

??? 中国剩余定理求解同余方程要求模数两两互质，在非互质的时候其实也可以计算，这里采用的是合并方程的思想。下面是详细推导。

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例

FZU1402 中国剩余定理

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef __int64 int64;int64 a[15],b[15];int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y){    if(b==0)    {        x=1,y=0;        return a;    }    int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);    int64 t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return d;}//求解模线性方程组x=ai(mod ni)int64 China_Reminder(int len, int64* a, int64* n){    int i;    int64 N = 1;    int64 result = 0;    for(i = 0; i < len; i++)        N = N*n[i];    for(i = 0; i < len; i++)    {        int64 m = N/n[i];        int64 x,y;        Extend_Euclid(m,n[i],x,y);        x = (x%n[i]+n[i])%n[i];        result = (result + m*a[i]*x%N)%N;    }    return result;}int main(){    int n;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        for(int i = 0; i < n; i++)            scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);        printf("%I64d\n",China_Reminder(n,b,a));    }    return 0;}

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POJ2891 非互质版

/**中国剩余定理（不互质）*/#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;typedef __int64 int64;int64 Mod;int64 gcd(int64 a, int64 b){    if(b==0)        return a;    return gcd(b,a%b);}int64 Extend_Euclid(int64 a, int64 b, int64&x, int64& y){    if(b==0)    {        x=1,y=0;        return a;    }    int64 d = Extend_Euclid(b,a%b,x,y);    int64 t = x;    x = y;    y = t - a/b*y;    return d;}//a在模n乘法下的逆元，没有则返回-1int64 inv(int64 a, int64 n){    int64 x,y;    int64 t = Extend_Euclid(a,n,x,y);    if(t != 1)        return -1;    return (x%n+n)%n;}//将两个方程合并为一个bool merge(int64 a1, int64 n1, int64 a2, int64 n2, int64& a3, int64& n3){    int64 d = gcd(n1,n2);    int64 c = a2-a1;    if(c%d)        return false;    c = (c%n2+n2)%n2;    c /= d;    n1 /= d;    n2 /= d;    c *= inv(n1,n2);    c %= n2;    c *= n1*d;    c += a1;    n3 = n1*n2*d;    a3 = (c%n3+n3)%n3;    return true;}//求模线性方程组x=ai(mod ni),ni可以不互质int64 China_Reminder2(int len, int64* a, int64* n){    int64 a1=a[0],n1=n[0];    int64 a2,n2;    for(int i = 1; i < len; i++)    {        int64 aa,nn;        a2 = a[i],n2=n[i];        if(!merge(a1,n1,a2,n2,aa,nn))            return -1;        a1 = aa;        n1 = nn;    }    Mod = n1;    return (a1%n1+n1)%n1;}int64 a[1000],b[1000];int main(){    int i;    int k;    while(scanf("%d",&k)!=EOF)    {        for(i = 0; i < k; i++)            scanf("%I64d %I64d",&a[i],&b[i]);        printf("%I64d\n",China_Reminder2(k,b,a));    }    return 0;}

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