Java中的浮点数剖析
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa也叫有效数字 ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及
一个表示正负的符号来表达实数。浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值，该浮点数的值都为0。当阶码的值为它能表示的最小一个值或更小的值时,不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值,通常称
其为机器零，此时该浮点数的所有各位（包括阶码位和尾数位）都清为0值。
Java 平台上的浮点数类型 float 和 double 采纳了 IEEE 754 标准中所定义的单精度 32 位浮点数和双精度 64 位浮点数的格式。
在 IEEE 标准中，浮点数是将特定长度的连续字节的所有二进制位分割为特定宽度的符号域，指数域和尾数域三个域，其中保存的值分别用于表示给定二进制浮点数中的符号，指
数和尾数。这样，通过尾数和可以调节的指数就可以表达给定的数值了。具体的格式参见下面的图例：
?
在上面的图例中，第一个域为符号域。其中 0 表示数值为正数，而 1 则表示负数。
第二个域为指数域，对应于我们之前介绍的二进制科学计数法中的指数部分。其中单精度数为 8 位，双精度数为 11 位。以单精度数为例，8 位的指数为可以表达 0 到 255 之间
的 255 个指数值（注：指数8位的最高位都是数值位，没有符号位）。但是，指数可以为正数，也可以为负数。为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差
（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为 127（2^7-1），而双精度数的偏差值为1023（2^10-1）。比如，单精度的实际指数值 0 在指数域中将保存为 127；而
保存在指数域中的 64 则表示实际的指数值 -63（64-127=-63）。 偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成 -127（表示小数点需向左移动127位） 到
128（表示小数点需向右移动128位） 之间（包含两端）。我们不久还将看到，实际的指数值 -127（全 0）以及 +128（全 1）保留用作特殊值的处理。这样，实际可以表达的有效
指数范围就在 -127 和 127 之间。
第三个域为尾数域，其中单精度数为 23 位长，双精度数为 52 位长。除了我们将要讲到的某些特殊值外，IEEE 标准要求浮点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为
1，因此我们在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个 1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样我们实际上用 23 位长的尾数域表达了 24 位的尾数。比如对于单精
度数而言，二进制的 1001.101（对应于十进制的 9.625）可以表达为 1.001101 × 2^3，所以实际保存在尾数域中的值为 00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的 1，并
用 0 在右侧补齐。
值得注意的是，对于单精度数，由于我们只有 24 位的尾数（其中一位隐藏），所以可以表达的最大尾数为 2^24- 1 = 16,777,215。特别的，16,777,216 是偶数，所以我们可以
通过将它除以 2 并相应地调整指数来保存这个数，这样 16,777,216 同样可以被精确的保存。相反，数值 16,777,217 则无法被精确的保存。由此，我们可以看到单精度的浮点数
可以表达的十进制数值中，真正有效的数字不高于 8 位。事实上，对相对误差的数值分析结果显示有效的精度大约为 7.22 位（由于位数不可取小数，所以单精度的精度为7，即
可精确到小数点后7位）。参考下面的示例：
产生这个误差的原因是 34.6 无法精确的表达为相应的浮点数，而只能保存为经过舍入的近似值。这个近似值与 34.0 之间的运算自然无法产生精确的结果。
?
当指数、尾数都为0，则规定该浮点数为0。
当指数255（全1）,且尾数为0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
当指数255（全1）,且尾数不为0时，表示NaN（不是一个数）。
最大的float数：0,11111110,1111111 11111111 11111111?? 用10进制表示约为?? +3.4E38
最小的float数：1,11111110,1111111 11111111 11111111?? 用10进制表示约为?? -3.4E38
绝对值最小的float数：0,00000000,0000000 00000000 00000001和1,00000000,0000000?? 00000000 00000001
浮点数的精度：
单精度数的尾数用23位存储，加上默认的小数点前的1位1，2^(23+1) = 16777216。因为 10^7 < 16777216 < 10^8，所以说单精度浮点数的有效位数（精度）是7位（即小数点后7位）。
双精度的尾数用52位存储，2^(52+1) = 9007199254740992，10^16 < 9007199254740992 < 10^17，所以双精度的有效位数（精度）是16位（即小数点后16位）。
如果你在浮点数的有效位后增加数字的话，结果是不会变化的：
2^-149=(0.00000000000000000000001) *2^-127=(00000000000000000000000.1) *2^-149=0x0.000002P-126f=0.0000 0000 0000 0000 0000 0010*2^126
(2-2^-23)*2^127=(10.00000000000000000000000-0.00000000000000000000001) *2^127
0x1.fffffeP+127f=0x1.1111 1111 1111 1111 1111 1110P+127?
double取值范围：
负值取值范围-1.79769313486231570E+308 ~ -4.94065645841246544E-324，正值取值范围为 4.94065645841246544E-324 ~ 1.79769313486231570E+308。
Double.MIN_VALUE：保持 double 类型数据的最小正非零值的常量，最小正非零值为 2^-1074。它等于十六进制的浮点字面值 0x0.0000000000001P-1022，也等于Double.longBitsToDouble(0x1L)。
Double.MAX_VALUE保持 double 类型的最大正有限值的常量，最大正有限值为 (2-2^-52)*2^1023。它等于十六进制的浮点字面值 0x1.fffffffffffffP+1023，也等于Double.longBitsToDouble(0x7fefffffffffffffL)。
?
Java中的小数精确计算