一个简单的动态规划例子
动态规划 既Dynamic Programming
1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。
它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。

2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相
同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间
的），这样就可以从表中得到原始问题的解。

直接看例子

国际象棋中的车可以水平的或竖直的移动，一个车要从一个棋盘的一角移到对角线的另一角，有多少种最短路径？

用动态规划算法求解(假设棋盘为n*n,最短路即不能回退)

我们设定 F[i , j]表示从坐标（0,0）到（i ,j）的方法数（定义F[i , j]的含义，动态规划的一个关键点）：

很明显,要走到坐标（i ,j），它的上一步的坐标必定是（i-1 ,j）或者（i ,j-1） （分析动态规划问题的逆向思考）

这样就将问题描述为了交叠子问题：

F[i , j] = F[i -1, j] + F[i , j-1] （ F[i , j] 拆解成更小的交叠的子问题 ）

我们要求的是F[n , n]

列出初始边界条件：

F[0 , j] = 1
F[i , 0] = 1

填矩阵的形式：可以按行也可以按列。

典型的动态规划的算法,由最小的边界条件处依次递归.
把矩阵填出来以后也很简单
1　 8　 36　120　330　 792　1716　 3432

1　 7　 28　84 　210　 462　924 　 1716

1　 6　 21　56　 126　 252　 462 792

1 5　 15　35　 70　 126 210　 330

1　 4　 10　 20　 35　 56 　 84 　120

1 3　 6　 10　 15 　 21　 28　 36

1 2　 3　 4 5　 6　 7 　 8

车 1 　1 　1 1 　 1 　 1 　 1

这个图似曾相识吧,没错,这就是帕斯卡三角形(Pascal's Triangle)

1

　　11

　　121

　　1331

　　14641

　　...........


的变形.即二项式的展开系数.因此其实F[n , n]即为C(2n , n)
(c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!))

二项式系数的性质图里也已经很明显了 C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k) n>k>0


代码: