最多不相交路径

??? 最长上升子序列是一个经典问题，可以用O(n^2)的dp解决。给出一个串，求出最长上升子序列的长度为多少？假设长度为s，现在问题是，有多少个长度为s的上升子序列，满足每个子序列所包含的元素均不相同(即一个数只能选一次)。

??? 建模：

??? 第一问直接用dp求解，dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，最后取dp[1~n]的最大值，即为s。

??? 第二问可以利用上一问求出来的dp数组，用网络流求解。

??? 1. 拆点，将每个点拆成两点，容量为1，保证每个点只取一次。

??? 2. 增加源点s和汇点t，s和dp[i]=1的点相连，dp[i]=s的点和t相连，容量均为INF。

??? 3. 对于两点i和j(j<i)，如果满足条件：a[j]<a[i]&&dp[j]+1=dp[i]，添加有向边(j,i)，容量为INF。

??? 这样，保证从s到t的每一条路都是一条最长递增子序列，最大流即为答案。

?? 例：HDU3998

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>using namespace std;const int INF = 0x7fffffff;const int maxv = 2000;const int maxe = maxv*maxv*2;int n,s;int a[maxv];int dp[maxv];int source,sink;//struct Edge{    int v;    int next;    int flow;};Edge e[maxe];int head[maxv],edgeNum;int now[maxv],d[maxv],vh[maxv],pre[maxv],preh[maxv];void addEdge(int a,int b,int c){    e[edgeNum].v = b;    e[edgeNum].flow = c;    e[edgeNum].next = head[a];    head[a] = edgeNum++;    e[edgeNum].v = a;    e[edgeNum].flow = 0;    e[edgeNum].next = head[b];    head[b] = edgeNum++;}void Init(){    edgeNum = 0;    memset(head,-1,sizeof(head));    memset(d,0,sizeof(d));}int sap(int s,int t,int n)       //源点，汇点，结点总数{    int i,x,y;    int f,ans = 0;    for(i = 0; i < n; i++)        now[i] = head[i];    vh[0] = n;    x = s;    while(d[s] < n)    {        for(i = now[x]; i != -1; i = e[i].next)            if(e[i].flow > 0 && d[y=e[i].v] + 1 == d[x])                break;            if(i != -1)            {                now[x] = preh[y] = i;                pre[y] = x;                if((x=y) == t)                {                    for(f = INF,i=t; i != s; i = pre[i])                        if(e[preh[i]].flow < f)                            f = e[preh[i]].flow;                    ans += f;                    do                    {                        e[preh[x]].flow -= f;                        e[preh[x]^1].flow += f;                        x = pre[x];                    }while(x!=s);                }            }            else            {                if(!--vh[d[x]])                    break;                d[x] = n;                for(i=now[x]=head[x]; i != -1; i = e[i].next)                {                    if(e[i].flow > 0 && d[x] > d[e[i].v] + 1)                    {                        now[x] = i;                        d[x] = d[e[i].v] + 1;                    }                }                ++vh[d[x]];                if(x != s)                    x = pre[x];            }    }    return ans;}//void build(){    int i,j;    Init();    source = 0;    sink = 2*n+1;    for(i = 1; i <= n; i++)        addEdge(i,i+n,1);    for(i = 1; i <= n; i++)    {        if(dp[i]==1)            addEdge(source,i,INF);        if(dp[i]==s)            addEdge(i+n,sink,INF);    }    for(i = 1; i <= n; i++)    {        for(j = 1; j < i; j++)        {            if(a[j] < a[i] && dp[j]+1 == dp[i])                addEdge(j+n,i,INF);        }    }}int main(){    int i,j;    while(scanf("%d",&n)!=EOF)    {        s = -1;        for(i = 1; i <= n; i++)            scanf("%d",&a[i]);        for(i = 1; i <= n; i++)            dp[i] = 1;        for(i = 1; i <= n; i++)        {            for(j = 1; j < i; j++)            {                if(a[j] < a[i] && dp[j] + 1 > dp[i])                    dp[i] = dp[j] + 1;            }        }        for(i = 1; i <= n; i++)        {            if(s < dp[i])                s = dp[i];        }        printf("%d\n",s);        build();        printf("%d\n",sap(source,sink,sink+1));    }    return 0;}

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