最大子矩阵和问题
最大子矩阵问题：
问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050)
?? 给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。
Example：
?0 -2 -7? 0?
?9? 2 -6? 2?
-4? 1 -4? 1?
-1? 8? 0 -2?
其中左上角的子矩阵：
?9 2?
-4 1?
-1 8?
此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。
? 我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。
? 怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？
? 让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：
??? 给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如
?? 31 -41 59 26 -53? 58 97 -93 -23 84
?子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。
第一种方法－直接穷举法:
?? maxsofar=0;
?? for i = 0 to n
?? {
?????? for? j = i to n?
?????? {
??????????? sum=0;
??????????? for k=i to j?
??????????????? sum+=a[k]?
??????????? if (maxsofar>sum)
?????????????? maxsofar=sum;
?????? }
?? }
第二种方法－带记忆的递推法：
?? cumarr[0]=a[0]
?? for i=1 to n????? //首先生成一些部分和
?? {
??????? cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];???????
?? }
?? maxsofar=0
?? for i=0 to n
?? {
?????? for? j=i to n???? //下面通过已有的和递推
?????? {
?????????? sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
?????????? if(sum>maxsofar)
?????????????? maxsofar=sum
?????? }
?? }
显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。
下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j]? (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。
由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},
所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。
得出的算法如下：
??? int maxSubArray(int n,int a[])
??? {
??????? int b=0,sum=-10000000;
??????? for(int i=0;i<n;i++)
??????? {
???????????? if(b>0) b+=a[i];
???????????? else b=a[i];
???????????? if(b>sum) sum=b;??
??????? }
??????? return sum;
??? }
这就是第三种方法－动态规划。
? 现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？
? 假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：
? | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |
? | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |
? |? .???? .???? .??? .?? ?.??? ?.??? .?? |
? |? .???? .???? .??? .?? ?.??? ?.??? .?? |
? | ar1 …… ari ……arj ……arn |
? |? .???? .???? .??? .?? ?.??? ?.??? .?? |
? |? .???? .???? .??? .?? ?.??? ?.??? .?? |
? | ak1 …… aki ……akj ……akn |
? |? .???? .???? .??? .?? ?.??? ?.??? .?? |
? | an1 …… ani ……anj ……ann |
?那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：
?(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)
?由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。
此题的详细解答如下(Java描述):
import java.util.Scanner;
public class PKU_1050
{
???? private int maxSubArray(int n,int a[])
????? {
??????????? int b=0,sum=-10000000;
??????????? for(int i=0;i<n;i++)
????????????{
????????????????? if(b>0) b+=a[i];
????????????????? else b=a[i];
??????????????????if(b>sum) sum=b;
??????????? }
??????????? return sum;??
????? }
????? private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
??????{
??????????? int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
??????????? int b[]=new int[101];
??????????? for(i=0;i<n;i++)
??????????? {
??????????????????for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
????????????????? {
??????????????????????? b[k]=0;
????????????????? }
????????????????? for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
????????????????? {
??????????????????????? for(k=0;k<n;k++)
??????????????????????? {
??????????????????????????????b[k]+=array[j][k];
??????????????????????? }
??????????????????????? max=maxSubArray(k,b);??
??????????????????????? if(max>sum)
??????????????????????? {
????????????????????????????????sum=max;
??????????????????????? }
????????????????? }
??????????? }
??????????? return sum;
????? }
????? public static void main(String args[])
??????{
??????????? PKU_1050 p=new PKU_1050();
??????????? Scanner cin=new Scanner(System.in);
????????????int n=0;
??????????? int[][] array=new int[101][101];
????????????while(cin.hasNext())
????????????{
???????????????????????n=cin.nextInt();???
???????????????????????for(int i=0;i<n;i++)
???????????????????????{
??????????????????????????????????for(int j=0;j<n;j++)
??????????????????????????????????{
?????????????????????????????????????????????array[i][j]=cin.nextInt();
??????????????????????????????????}
???????????????????????}
???????????????????????System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
????????????}
??????}
}
?
转自：http://www.cnblogs.com/fll/archive/2008/05/17/1201543.html
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【问题描述】求一个M*N的矩阵的最大子矩阵和。比如在如下这个矩阵中：0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2???………………【1】拥有最大和的子矩阵为：9 2
-4 1
-1 8
其和为15。?【解题思路】这道题可以看做是一维最大子串和的二维扩展。还记得一维最大子串和采用了备忘录似的动态规划。比如：3 -1 2 -4 10 -3 4 7 -6这个数列中，最大的子串和是10 -3 4 7 = 18。当时采用的是用一个b[i]来记录：扫描到第i个元素时，其最优子串和：其递归式是：b[i]=max{a[i]，b[i]+a[i]}?运用到这道题中，我们需要将二维的压缩成一维，然后进行如上算法，大致步骤如下：（1）压缩行将每行自左向右做累加，存入b[i][j]中。于是上述矩阵就变为：0 -2 -9 -99 11 5 7-4 -3 -7 -6-1 7 7 5???………………【2】?b[i][j]表示第i行，自第1列累加到第j列的和。如果想表示第i行，自第j列累加到第k列的和（j<=k），我们就可以用如下表达式：b[i][k]-b[i][j-1]=第1列累加到第k列的和 - 第1列累加到第j-1列的和?这样做的好处就是可以将求第i行的第j列累加到第k列这个过程的算法复杂度从O(n)压缩到O(1)。?（2）DP列得到矩阵【2】之后，按照一维DP的方式，对每列从第1行往第M行做DP。比如矩阵【2】中的第一列：0 9 -4 -1。按照一维DP之后的b[]数组为：0 9 5 4，最大值为9，这就表明矩阵【1】中子矩阵09-4-1中的最大子矩阵和为9。?然后循环DP，共三层循环。最外层i循环1-N，表明子矩阵是从第i列开始累加的。第二层j循环i-N，表明子矩阵是从第i列累加到第j列。第三层k从1到M做一维DP。?所以其复杂度为O(n^3)。如果穷举的话，需要确定子矩阵左上角坐标x，y，需要O(n^2)；需要确定右下角坐标x，y，需要O(n^2)；需要循环计算子矩阵和，O(n^2)；一共是O(n^6)。?（3）备忘录我们这种DP的解法是O(n^3)的时间复杂度，但是存储空间耗费不小，存b[][]，还要存做列DP之后的每行最优解。所以实际需要三维数组b来存放。但是我们采用一个备忘录变量值sum，在每次DP后记录其值，反复比较保留最大的sum。最后留下的即为最大子矩阵和。
转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_575e6b9d010009fz.html
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