跳表SkipList的原理和实现

? ? ??最近看了一种数据结构叫做skipList，redis和levelDB都是用了它。Skip List是在有序链表的基础上进行了扩展，解决了有序链表结构查找特定值困难的问题，查找特定值的时间复杂度为O(logn)，他是一种可以代替平衡树的数据结构。

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从该有序表中搜索元素 < 23, 43, 59 > ，需要比较的次数分别为 < 2, 4, 6 >，总共比较的次数

为 2 + 4 + 6 = 12 次。有没有优化的算法吗? ?链表是有序的，但不能使用二分查找。类似二叉

搜索树，我们把一些节点提取出来，作为索引。得到如下结构：

?这里我们把 < 14, 34, 50, 72 > 提取出来作为一级索引，这样搜索的时候就可以减少比较次数了。

?我们还可以再从一级索引提取一些元素出来，作为二级索引，变成如下结构：

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??

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? ? ?这里元素不多，体现不出优势，如果元素足够多，这种索引结构就能体现出优势来了。

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跳表

下面的结构是就是跳表：

?其中 -1 表示 INT_MIN， 链表的最小值，1 表示 INT_MAX，链表的最大值。

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跳表具有如下性质：

(1) 由很多层结构组成

(2) 每一层都是一个有序的链表

(3) 最底层(Level 1)的链表包含所有元素

(4) 如果一个元素出现在 Level i 的链表中，则它在 Level i 之下的链表也都会出现。

(5) 每个节点包含两个指针，一个指向同一链表中的下一个元素，一个指向下面一层的元素。

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跳表的搜索

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例子：查找元素 117

(1) 比较 21， 比 21 大，往后面找

(2) 比较 37, ? 比 37大，比链表最大值小，从 37 的下面一层开始找

(3) 比较 71, ?比 71 大，比链表最大值小，从 71 的下面一层开始找

(4) 比较 85， 比 85 大，从后面找

(5) 比较 117， 等于 117， 找到了节点。

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具体的搜索算法如下：?

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C代码??

1. /*?如果存在?x,?返回?x?所在的节点，?
2. ?*?否则返回?x?的后继节点?*/??
3. find(x)???
4. {??
5. ????p?=?top;??
6. ????while?(1)?{??
7. ????????while?(p->next->key?<?x)??
8. ????????????p?=?p->next;??
9. ????????if?(p->down?==?NULL)???
10. ????????????return?p->next;??
11. ????????p?=?p->down;??
12. ????}??
13. }??

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跳表的插入

先确定该元素要占据的层数 K（采用丢硬币的方式，这完全是随机的）

然后在 Level 1 ... Level K 各个层的链表都插入元素。

例子：插入 119， K = 2

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如果 K 大于链表的层数，则要添加新的层。

例子：插入 119， K = 4

丢硬币决定 K

插入元素的时候，元素所占有的层数完全是随机的，通过一下随机算法产生：

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C代码??

1. int?random_level()??
2. {??
3. ????K?=?1;??
4. ??
5. ????while?(random(0,1))??
6. ????????K++;??
7. ??
8. ????return?K;??
9. }??

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相当与做一次丢硬币的实验，如果遇到正面，继续丢，遇到反面，则停止，

用实验中丢硬币的次数 K 作为元素占有的层数。显然随机变量 K 满足参数为 p = 1/2 的几何分布，

K 的期望值 E[K] = 1/p = 2. 就是说，各个元素的层数，期望值是 2 层。

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跳表的高度。

n 个元素的跳表，每个元素插入的时候都要做一次实验，用来决定元素占据的层数 K，

跳表的高度等于这?n 次实验中产生的最大 K，待续。。。

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跳表的空间复杂度分析

根据上面的分析，每个元素的期望高度为 2， 一个大小为 n 的跳表，其节点数目的

期望值是 2n。

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跳表的删除

在各个层中找到包含 x 的节点，使用标准的 delete from list 方法删除该节点。

例子：删除 71

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/** *跳表节点数据存储结构 */class SkipNode<E extends Comparable<? super E>> {public final E value; //节点存储的数据public final SkipNode<E>[] forward; //节点的指针数组/** * 根据节点的层级构造一个节点 * @param level 节点层级 * @param value 节点存储值 */@SuppressWarnings("unchecked")public SkipNode(int level, E value) {forward = new SkipNode[level + 1];//level层的元素后面带着level+1的指针数组this.value = value;}}public class SkipSet<E extends Comparable<? super E>> {/** * 概率因子，实验证明p=1/e比p=0.5要好，e是个神奇的数字！ *///public static final double P = 0.5;public static final double P = 1/Math.E;/** * 最大层级 */public static final int MAX_LEVEL = 6;/** * 开始节点，不存值，贯穿所有层 */public final SkipNode<E> header = new SkipNode<E>(MAX_LEVEL, null);/** * 当前跳表的最高层级 */public int level = 0;/** * 插入一个元素 * @param value 待插入值 */@SuppressWarnings("unchecked")public void insert(E value) {SkipNode<E> x = header;SkipNode<E>[] update = new SkipNode[MAX_LEVEL + 1];//查找元素的位置，这里其实做了一次contain操作，注释见containfor (int i = level; i >= 0; i--) {while (x.forward[i] != null&& x.forward[i].value.compareTo(value) < 0) {x = x.forward[i];}//update[i]是比value小的数里面最大的，是value的前置节点update[i] = x;}x = x.forward[0];//此处不允许插入相同元素，为一个setif (x == null || !x.value.equals(value)) {//跳表中不包含所要插的元素//随机产生插入的层级int lvl = randomLevel();//产生的随机层级比当前跳表的最高层级大，需要添加相应的层级，并更新最高层级if (lvl > level) {for (int i = level + 1; i <= lvl; i++) {update[i] = header;}level = lvl;}//生成新节点x = new SkipNode<E>(lvl, value);//调整节点的指针，和指向它的指针for (int i = 0; i <= lvl; i++) {x.forward[i] = update[i].forward[i];update[i].forward[i] = x;}}}/** * 删除一个元素 * @param value 待删除值 */@SuppressWarnings("unchecked")public void delete(E value) {SkipNode<E> x = header;SkipNode<E>[] update = new SkipNode[MAX_LEVEL + 1];//查找元素的位置，这里其实做了一次contain操作，注释见containfor (int i = level; i >= 0; i--) {while (x.forward[i] != null&& x.forward[i].value.compareTo(value) < 0) {x = x.forward[i];}update[i] = x;}x = x.forward[0];//删除元素，调整指针if (x.value.equals(value)) {for (int i = 0; i <= level; i++) {if (update[i].forward[i] != x)break;update[i].forward[i] = x.forward[i];}//如果元素为本层最后一个元素，则删除同时降低当前层级while (level > 0 && header.forward[level] == null) {level--;}}}/** * 查找是否包含此元素 * @param searchValue 带查找值 * @return true：包含；false:不包含 */public boolean contains(E searchValue) {SkipNode<E> x = header;//从开始节点的最高层级开始查找for (int i = level; i >= 0; i--) {//当到达本层级的NULL节点或者遇到比查找值大的节点时，转到下一层级查找while (x.forward[i] != null&& x.forward[i].value.compareTo(searchValue) < 0) {x = x.forward[i];}}x = x.forward[0];//此时x有三种可能，1.x=null,2.x.value=searchValue,3.x.value>searchValuereturn x != null && x.value.equals(searchValue);}/** * 这里是跳表的精髓所在，通过随机概率来判断节点的层级 * @return 节点的层级 */public static int randomLevel() {int lvl = (int) (Math.log(1. - Math.random()) / Math.log(1. - P));return Math.min(lvl, MAX_LEVEL);}/** * 输出跳表的所有元素 * 遍历最底层的元素即可 */public String toString() {StringBuilder sb = new StringBuilder();sb.append("{");SkipNode<E> x = header.forward[0];while (x != null) {sb.append(x.value);x = x.forward[0];if (x != null)sb.append(",");}sb.append("}");return sb.toString();}}?

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