生成排列算法HeapPermute(n)分析及证明

算法描述如下：

HeapPermute(n)//实现生成排列的Heap算法//输入：一个正正整数n和一个全局数组A[1..n]//输出：A中元素的全排列if n = 1write Aelsefor i ←1 to n doHeapPermute(n-1)if n is oddswap A[1]and A[n]else swap A[i]and A[n]

分析：

n=1时，输出a1

n=2时，输出a1a2，a2a1

n=3时，

(1)第一次循环i=1时，HeapPermute(2)将a1a2做完全排列输出，记为[a1a2]a3，并将A变为a2a1a3，并交换1,3位，得a3a1a2

(2)第二次循环i=2时，HeapPermute(2)输出[a3a1]a2，并将A变为a1a3a2，交换1,3位，得a2a3a1

(3)第三次循环i=3时，HeapPermute(2)输出[a2a3]a1，并将A变为a3a2a1，交换1,3位，得a1a2a3，即全部输出完毕后数组A回到初始顺序。

n=4时，

(1)i=1时，HeapPermute(3)输出[a1a2a3]a4，并且a1a2a3顺序不变，交换1,4位，得a4a2a3a1

(2)i=2时，HeapPermute(3)输出[a4a2a3]a1，并且a4a2a3顺序不变，交换2,4位，得a4a1a3a2

(3)i=3时，HeapPermute(3)输出[a4a1a3]a2，并且a4a1a3顺序不变，交换3,4位，得a4a1a2a3

(4)i=4时，HeapPermute(3)输出[a4a1a2]a3，并且a4a1a2顺序不变，交换4,4位，得a4a1a2a3，即全部输出完毕后数组A循环右移一位。

由以上分析可得出结论：

当n为偶数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素循环右移一位。

当n为奇数时，HeapPermute(n)输出全排列后数组元素顺序保持不变。

所以由归纳法证明如下：

(1)i=1时，显然成立。

(2)i=k为偶数时，假设输出的是全排列，则i=k+1(奇数)时，k+1次循环中，每次前k个元素做全排列输出后循环右移一位，所以对换swapA[1]andA[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。

(3)i=k为奇数时，假设输出的是全排列,则i=k+1(偶数)时，k+1次循环中，每次前k个元素做全排列输出后顺序保持不变，所以对换swapA[i]andA[n]可以保证每次将前k个元素中的一个换到k+1的位置，所以k+1次循环后输出的是A[1…k+1]的全排列。

证毕。

下面的时间复杂度分析不知道对不对，仅供参考：

时间复杂度递推公式为T(n) = 1 n=1

=n[ T(n-1)+2 ] n>1

化简得T(n) =n! + O(nn-1)

所以时间复杂度为O(n!)+ O(nn-1)