散列表总结
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本文整理自《算法导论》第11章，由于本章有一些概率论知识，因此理解起来比较困难，但是一般只要记住结果即可。我在面试的时候也被问过：“请问哈希冲突的解决方法有哪些?”，这个问题的答案是：
第一种是链接技术，即用双向链表来链接哈希值相同的元素。这种方法能够有良好性能的前提是满足近似简单一致散列。第二种是开放寻址法，而开放寻址法有几种生成探查寻列的方法，如线性探查、二次探查、二次哈希（double hashing），其中二次哈希用的最多。开放寻址法有良好性能的前提是满足一致散列。（以上粗体字都是本文将要讲解的内容）

本文定义 n为实际要插入的关键字，m为槽的个数。

动态集合：支持插入、删除操作。静态集合：只支持查找操作。
字典操作：INSERT(T,x)：将元素x插入T。DELETE(T,x)：将元素x从T中删除。SEARCH(T,k)：根据关键字k查找元素。

一、直接寻址法
定义：每个元素的关键字k就是数组的下标，比如一个元素的关键字为2，则T[2]就是元素存放的位置。被寻址的表称为直接寻址表。
前提:(1)关键字的全域U较小，不然机器创建一个很大很大的数组不太可能。(2)关键字都是自然数，不然不能直接寻址。(3)没有两个元素的关键字相同，即不能“碰撞”。
优点：简单，方便。并且没有冲突。缺点：(1)关键字的全域很大时，如2^64，则计算机不能创建这么大的数组。(2)如果关键字不是自然数，则不能直接寻址，比如关键字是string，则不能T[string]。(3)如果实际使用的关键字只有少数，但是全域很大，则会造成空间的浪费。比如全域为100000，实际使用了2个关键字。

二、散列表

定义：设计一个哈希函数h，如果关键字为k，则h(k)就是哈希表下标位置。
优点：需要的空间少。缺点：哈希冲突（书中称为“碰撞”）。
简单一致散列：如果任何一个关键字k，他映射到m个槽的任何一个的可能性都相同，并且k映射到哪个槽与其他关键字独立无关，则称为简单一致散列。装载因子：n/m，即一个槽的链表的平均长度。

全域散列：任何一个哈希函数，都存在一个键集，使得他们映射到同一个槽中（即诱导发生最坏情况），因此全域散列就有用武之地了，他是预先定义一个有限的散列函数集（就是多个散列函数），等到真正开始执行时，随机选择一个散列函数（一旦开始执行，散列函数就不能改变），这样的优点是对手不知道你要选那个散列函数，看到的只是random()。全域性质：从散列函数集中随机选择一个函数，两个关键字碰撞的概率至多1/m。
结论：(1)在散列函数集是全域的条件下，成功查找的期望时间至多1+n/m。(2)在散列函数集是全域的条件下，不成功查找的期望时间至多n/m。
证明结论：

选取散列函数是一门很大的学问，但是有一些启发式的函数，如：1.除法散列法：h(k)= k mod m 注意点：
(1)m不能太小，m不能是2的幂次，m一定是质数。 (2)这个方法的优点是简单。
2.乘法散列法：h(k)=floor(m(kA mod 1))，这个方法一般比除法散列法好，因为乘法比除法快。 注意点：
(1)一般A=(根号5 - 1)/2 (2)一般m是2的幂次。如果不理解乘法散列法，可以做做算法导论11.3-4。
完全散列：适用于静态集合（只有search操作），利用两级哈希，使得最坏情况下查找只需要O(1)。原理如下图： 完全散列的要求：第二个散列函数必须是没有碰撞发生的。

三、解决碰撞的方法
有没有完全避免碰撞的方法呢？实际上是没有的，根据鸽巢原理，n只要大于m，一定至少有一个槽放了多于1个元素。

1、链接法

用双向链表来链接哈希值相同的元素。这种方法能够有良好性能的前提是满足近似简单一致散列。

简单一致散列：如果任何一个关键字k，他映射到m个槽的任何一个的可能性都相同，并且k映射到哪个槽与其他关键字独立无关，则称为简单一致散列。
结论：
INSERT操作的最坏情况时间为O(1)
DELETE操作的最坏情况时间为O(1)
查找不成功的SEARCH操作的期望运行时间为O(1+n/m)，最坏情况时间为O(n)，当n=O(m)时，期望时间为O(1)
查找成功的SEARCH操作的期望运行时间为O(1+n/m)，最坏情况时间为O(n)，当n=O(m)时，期望时间为O(1)

证明：简单一致散列的假设下，查找不成功的期望时间为O(1+n/m)首先hash函数需要O(1)，然后设Xk为T[k]的链表的期望长度，我们已知期望长度为n/m，查找不成功会遍历一个链表，因此查找不成功的期望时间为O(1+n/m)。
证明：简单一致散列的假设下，查找成功的期望时间为O(1+n/m)

2、开放寻址法
开放寻址法是另一种解决碰撞的方法。定义：将散列函数扩展定义成探查序列，即每个关键字有一个探查序列h(k,0)、h(k,1)、...、h(k,m-1)，这个探查序列一定是0....m-1的一个排列（一定要包含散列表全部的下标，不然可能会发生虽然散列表没满，但是元素不能插入的情况），如果给定一个关键字k，首先会看h(k,0)是否为空，如果为空，则插入；如果不为空，则看h(k,1)是否为空，以此类推。
特点：散列表的每个槽只能放一个元素，因此当n==m时，最终会发生不能再插入元素的情况，n/m<=1。
一致散列：每个关键字所对应的探查序列是0...m-1的m!种排列的每个可能性都相同，并且和其他关键字独立无关。开放寻址法好性能的前提是一致散列。
缺点：不支持删除操作，只支持INSERT、SEARCH操作，因此如果有删除操作，就用链接法。算法导论11.4-2要求实现DELETE操作。
生成探查序列的方法有：(1)线性探查：h(k,i)=(h'(k)+i) mod m，可能有“一次群集”问题，即随着插入的元素越来越多，操作时间越来越慢。(2)二次探查：h(k,i)=(h'(k)+ai+bi^2) mod m，可能有“二次群集”问题，即如果h(k1,0)=h(k2,0)，则探查序列就一致。(3)二次哈希：h(k,i)=(h1(k)+ih2(k)) mod m ，要求m和h2(k)互质，不然探查序列不能覆盖到整个下标。算法导论11.4-3证明了这点。其中二次哈希最好，因为他能够生成m^2种（离m!最接近）排列，而线性探查、二次探查只能生成m种排列，而理想中如果满足一致散列的话，则会生成m!种排列。
结论：(1)在一致散列的条件下，不成功查找的期望探查数至多为 1/(1-n/m)。(2)在一致散列的条件下，成功查找的期望探查数至多为 1/(n/m) * ln(1/(1-n/m))，当然也可以至多为1/(1-n/m)[MIT开放课程中是这个，其实都差不多，下面我会证明]。(3)在一致散列的条件下，插入的期望探查数至多为 1/(1-n/m)。
证明结论：