带权的二分图的最优匹配KM算法

/*********************************************************算法引入：给定一个完全二分图G=(X∪Y，X×Y),其中边(x,y)有权w(x,y);要找一个从X到Y具有最大权和的匹配M，即为二分图的最优匹配问题;KM(Kuhn_Munkras)算法求的是完备匹配下的最大权匹配;算法思想：KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的;设顶点Xi的顶标为A[i]，顶点Yi的顶标为B[i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j];在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立;初始A[i]为与Xi相连的边的最大边权，B[j]=0;KM算法的正确性基于以下定理：设G(V,E)为二分图,G'(V,E')为该二分图的子图;如果对于G'中的任何边<x,y>满足， A(x)+ B(y)==W[x,y];则称G'(V,E')为G(V,E)的等价子图或相等子图(是G的生成子图);若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配;那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配;因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图;那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图，那么它的边权和小于所有顶点的顶标和(即不是最优匹配);所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配;相等子图包含原图的所有的点，相等子图一定可以找到完备匹配;相等子图的完备匹配只需加一些虚拟点可以扩充为完美匹配(记为M);完美匹配是包含了所有点的匹配，那么所有点的顶点的标号值都包括进来了;虽然有些点是0，在这个状态下，把相等子图的标号一一对应的标到原图上去;原图的任意一个匹配最多只能包含原图的所有顶点;即任何匹配的权和不可能超过所有标号的和，所以M的和必然是最优的;算法改进：给每个Y顶点一个"松弛量"函数slack;每次开始找增广路时初始为无穷大;在寻找增广路的过程中，检查(i,j)时，如果它不在相等子图中;则让slack[j]=min(原值,A[i]+B[j]-W[i,j]);这样在修改顶标时，取所有的不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可;算法过程：①初始化可行顶标的值;②用匈牙利算法寻找完备匹配;③若未找到完备匹配则修改可行顶标的值;④重复②③直到找到相等子图的完备匹配;**********************************************************/#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<climits>#include<algorithm>using namespace std;const int N = 1000;const int INF = 0xffffff;int w[N][N];//权值int lx[N],ly[N]; //顶标int linky[N];//记录与i匹配的顶点int visx[N],visy[N];int slack[N];//松弛量int nx,ny;//二分图两边的顶点数void init(){    memset(linky,-1,sizeof(linky));//记录与i匹配的顶点    memset(ly,0,sizeof(ly));///初始化顶标y为0    for(int i = 0; i < nx; i++)        for(int j = 0,lx[i] = -INF; j < ny; j++)        {            if(w[i][j] > lx[i])                lx[i] = w[i][j];///初始化顶标x为与顶点Xi关联的边的最大权        }}bool find(int x)//匈牙利算法{    visx[x] = true;    for(int y = 0; y < ny; y++)    {        if(visy[y])            continue;        int t = lx[x] + ly[y] - w[x][y];//若t==0，则为最大权匹配；        if(t==0)        {            visy[y] = true;            if(linky[y]==-1 || find(linky[y]))            {                linky[y] = x;                return true;        //找到增广轨            }        }        else if(slack[y] > t)            slack[y] = t;    }    return false;                   //没有找到增广轨（说明顶点x没有对应的匹配，与完备匹配(相等子图的完备匹配)不符）}int KM()                //返回最优匹配的值{    init();    for(int x = 0; x < nx; x++)    {        for(int i = 0; i < ny; i++)            slack[i] = INF;//松弛函数初始化为无穷大        while(1)        {            memset(visx,0,sizeof(visx));            memset(visy,0,sizeof(visy));            if(find(x))                     //找到增广轨，退出                break;            int d = INF;            for(int i = 0; i < ny; i++)          //没找到，对l做调整(这会增加相等子图的边)，重新找            {                if(!visy[i] && d > slack[i])                    d = slack[i];            }            for(int i = 0; i < nx; i++)//修改x的顶标            {                if(visx[i])                    lx[i] -= d;            }            for(int i = 0; i < ny; i++)//修改y的顶标            {                if(visy[i])                    ly[i] += d;                else                    slack[i] -= d;//修改顶标后，不在交错树中的y顶点的slack值都要减去d；            }        }    }    int result = 0;    for(int i = 0; i < ny; i++)    {        if(linky[i]>-1)            result += w[linky[i]][i];    }    return result;}int main(){    //freopen("C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\kd.txt","r",stdin);    while(~scanf("%d%d",&nx,&ny))    {        if(!nx||!ny)            break;        int a,b,c;        while(scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),a+b+c)        {            w[a][b]=c;        }        printf("%d\n",KM());    }    return 0;}