无穷小微积分pk传统微积分

2011年6月4日，J.Keisler发表了一本新的无穷小微积分教材（电子版），书名为”无穷小微积分基础“（foundations of Infinitesimal Calculus）,提供给讲授《基础微积分》教材的教员参考使用，为他们”鼓劲“，具有很高的学术价值，其具体内容如下：

前 言 （Preface）.. . . . . . . . . . . . . . .

第一章：超实数（The Hyperreal Numbers）.. .. . . . . . .

第二章：微分法—ifferentiation）.. . . . . .. .. . . . . .

第三章：连续函数（Continuous Functions）.. . . . . . . .

第四章.积分法（Integration）.. . . .

第五章：极限（Limits）.. . . . . . . . . . .

第六章：积分的应用（Applications of the Integral）.

第七章：三角函数（Trigonometric Functions）.. . . . .

第八章：指数函数（Exponential Functions）.. . .

第九章：无穷级数（Infinite Series) . . . . . .. . .

第十章：向量（Vectors）.. . . . . . . . . . . .

第十一章：偏微分法（Partial Differentiation）.. . . . .

第十二章：多重积分法（Multiple Integration）... . .

第十三章：向量微积分学（Vector Calculus）.. . . . . . . . . . . . .

第十四章：微分方程—ifferential Equations）.

第十五章：逻辑与超结构（Logic and Superstructures）.

由此，我们可以看出，此书与哥德布拉特的”超实讲义“（1998年出版）是对传统微积分的最新挑战。谁敢出来应战？我看，有些人只会躲在背地角落里面乱嘀咕，而不敢站出来进行公开论战。数学是完全透明的学问，不怕辩论，更不怕批评。

搞无穷小微积分，是”阳春白雪“，还是”下里巴人“？这是两种不同的思路。我们把话说明白了就是，先抓研究生教育？还是先抓本科生普及？老实说，我给研究生听课，有1/3听懂就不错了，而如今要面对本科生小毛头，我就有点儿犯难了。比如，今天有一个小毛头在留言中说：”袁老师，我觉得无穷小是一个运动变化的数字。它不是一个确定的数，而是一直无限靠近0的运动变化的的数字，是动的，不是静的“，还说，”引进超实数标新立异，但它们在数轴上的位置呢？“这个问题提得很好。但是要知道，”运动“是物理学的概念，数学只是提供描述物理运动的工具，而不是研究运动的本身。什么是”一直无限靠近0的运动变化的的数字“？什么叫”无限靠近“？什么叫”无限“？这些问题有必要向我们的下一代讲清楚，脑壳里面有条”糊涂虫“，那是很难受的。