自信来自成功
——由一道数学阅读思考题想到的
在女儿的暑假作业上有这样一道阅读思考题：
中国剩余定理
《孙子算经》中有“物不知数”问题：今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，问物几何。
程大位曰：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆月正半，除百零五变得知.”答案是23.
老师解释他的解法就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。这种解法也称为中国的剩余定理。
我一向对数学颇感兴趣，想搞明白这剩余定理到底是个什么计算过程，什么计算原理，也好给女儿讲一讲，共同研究研究，也算是开发开发智力。
可是我把这道题翻来覆去地看，就是琢磨不出一点头绪来。我便向学历比我高的老公求教。老公拿着那道题，读两遍，沉吟片刻，一拍大腿，果断地说：“这道题讲错了。”
嘿，好大的口气，我看不懂的题你说它讲错了，太贬低本老师了吧。我看不懂只是觉得自己脑子笨，你竟然说是出错了，咋，显得你比咱能还是咋的。
“不会吧，你再看看。”
“肯定是讲错了，小学生的题连你我这样智商的人都看不懂，不是错了是啥？”
“不会吧？”
“不信，我去查查百度。”
凑在电脑前。看到百度上是这样讲的：
1、中国剩余定理概念：
中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。
好家伙，小学生的暑假作业上出现了高等数学（数论）的知识，拓展这么深，值得研究研究。
2、孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。
这个除以就是把我们迷惑住的地方，其实不应是除，而应是减去。暑假作业上的讲解果然有问题，老公好样的。
题目的答案为 70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式：70a+21b+15c-105n
可是为什么要用70、21、15这几个数呢？
3、解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质，可以多次减去105而得到最小的正数解。
噢，原来如此呀！
4、 孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性：
也就是说，这三个数可以从最小公倍数M=3×5×7=105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2，K2=1，K3=1，那么整数Ki（i=1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下的情况。
应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即
N≡Ri（mod ai）（i=1、2、……n），
只需求出一组数K，使满足
1（mod ai）（i=1、2、……n），
那么适合已给一次同余组的最小正数解是
（P是整数，M=a1×a2×……×an），
这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理。
哈哈，我看懂高等数学题啦！多了不起！
5、案例：中国剩余定理算理及其应用：
为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1+45×2+36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。
例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2+120×4+105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。
例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4+385×3+320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。
例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5+225×1+126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。
例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6+225×2+126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
经过反复看演练和思考，我终于看懂应用剩余定理做题了。
看懂了不等于会用了。就像记住了游泳的要领不下河去试一试还不能说会游泳了。利用思考所得，我尝试去解决暑假作业上设置的问题。
同学们排队做操，每3人一列余1人，5人1列余2人，7人1列余4人，13人1列余6人。问：共有多少名学生？
几经周折、几番错误终于算出了正确答案。方法同例题一样，答案是487.哈哈。我的自信心瞬间增强。
在做题之余，我进一步思考，面对同一道思考题，我为什么和老公的反应不一致呢？这就是我缺乏一份自信。
题目是试金石，它能检验出谁是金刚钻。自信的人勇于挑战，勇于尝试，会进行分析、推理、判断和总结。通过自己的大脑，发现题目中或实践中出现矛盾冲突的地方，果断求证，取得真知。比萨斜塔上的伽利略、罗马广场的布鲁诺，教廷的哥白尼等等，历史上的伟人都是自信的人，他们用自己的自信开创了科学的历史，将人类引出迷雾。平凡的人也需要自信，自信是立人之本，自信时成长之源，自信是快乐之根。
我们所推行的素质教育，就是要培养出能独立思考的人，课堂上要把思考的过程让学生来承担，老师可以起一个推动作用，但绝对不要代替。当学生体会到思考的快乐，自信心自然就建立起来了。
毛泽东主席说：“自信人生二百年，会当击水三千里。”意思是说要征服自然，打破人生的极限；要做一番大事业，要有鲲鹏水击三千里的凌云壮志。这是怎样一种豪迈气概！
自信是生命的翅膀，带着我们九天飞翔！